Зразок роботи
Вступ
Поняття функціональної залежності одне з найважливіших понять сучасної геометрії. Серед способів задання функції (аналітичного, табличного, словесного) значне місце посідає саме графічний. Іноді графік – єдино можливий спосіб задання функції. Саме дослідження графіків функцій заданих параметрично пропонується розглянути. Воно досить широко застосовується в механіці, при деяких теоретичних дослідженнях в геометрії.
Дослідження функцій, заданих параметрично
В геометрії, механіці, фізиці часто зустрічається параметричний спосіб задання рівняння, що описує криву на площині чи в просторі. Саму ж лінію можна розглядати як геометричне місце послідовних положень рухомої точки, координати x та y якої є функціями допоміжної змінної (часу, швидкості, відстані і т.д.). Допоміжну змінну називають параметром, а рівняння функції – параметричним рівнянням. Для прикладу, крива на площині визначається двома рівняннями
Похідна параметричної функції першого порядку знаходиться за правилом
.
Друга похідна параметрично заданої функції визначається залежністю
.
Аналогічним чином можна вивести похідні старших порядків.
Нехай крива задана параметричними рівняннями
(1)
В такому випадку дослідження і побудова кривої проводяться аналогічно тому, як це було робиться для кривої, що задана рівнянням
.
Обчислюємо похідні
. (2)
Для тих точок кривої, поблизу яких крива є графіком деякої функції , обчислюємо похідну
. (3)
Знаходимо значення параметра , при яких хоча б одна із похідних або дорівнює нулю або має розрив. Такі значення ми будемо називати критичними значеннями. За формулою (3) в кожному із інтервалів , , …, , а отже, і в кожному із інтервалів , , …, (де ) визначаємо знак , тим самим визначаємо області зростання і спадання. Це дає також можливість визначити характер точок, що відповідають значення параметра . Далі, обчислюємо
. (4)
На підставі цієї формули визначаємо напрямок опуклості кривої в кожній точці.
Для знаходження асимптот, знаходимо такі значення , при наближенні до яких або , або прямують до нескінченності, і такі значення , при наближенні до яких і , і прямують до нескінченності. Потім проводимо дослідження звичайним способом.
Деякі особливості, які з’являються при дослідженні кривих заданих параметрично, з’ясуємо на прикладах.
Розглянемо рівняння деяких типів криви в параметричній формі.
Коло
Якщо центр кола знаходиться в початку
координат, то координати будь-якої її точки
можуть бути знайдені за формулами:
0 t 3600
Якщо виключити параметр t, то отримаємо канонічне рівняння кола:
x2 + y2 = r2(cos2t + sin2t) = r2
Магістр