Зразок роботи
Мета даної роботи: вивчити інтеграл Фур’є та всі поняття, пов’язані з ним; показати застосування інтегралу Фур’є при розв’язуванні прикладних задач; означити, що таке перетворення Фур’є та Лапласа.
Об’єктом дослідження виступає сам інтеграл Фур’є та його властивості, а також перетворення Лапласа та Фур’є
Предметом дослідження є форми і методи застосування інтегралу Фур’є.
Відповідно до поставленої мети можна сформулювати основні завдання даної роботи:
1. Розглянути основні поняття, пов’язані з інтегралом та перетворенням Фур’є.
2. Проаналізувати властивості інтегралу Фур’є та його застосування.
3. Дати означення таким поняттям як перетворення Лапласа та Фур’є.
4. Використати інтеграл та перетворення Фур’є при розв’язанні прикладних задач.
Для дослідження теоретичної частини роботи використовувалися матеріали навчальної літератури та періодичних видань, зазначених в списку літератури.
Цю роботу ви можете використати як помічник у написанні роботи, пов`язаною з даною темою. Для того щоб не передруковувати формули чи матеріал з книги або іншої літератури.
РОЗДІЛ I
ІНТЕГРАЛ ФУР’Є ТА ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ
I.1. Інтеграл Фур’є в дійсній формі та достатні умови подання функції інтегралом Фур’є.
Нехай функція f(x) визначена на всій числовій осі та на довільному скінченному відрізку [-l;l]і справджує умови теореми Діріхле, тобто функціяf(x)є кусково-неперервною, кусково-монотонною та обмеженою. Тоді, як відомо, на кожному такому відрізку функцію f(x) можна розвинути у тригонометричний ряд Фур’є
f(x)= a_0/2+∑_(n=1)^∞▒〖( 〗 a_n cos nπ/l x+b_n sin nπ/l x)
(в точках розривуx маємо
(f(x+0)+f(x-0))/2=a_0/2+∑_(n=1)^∞▒〖( 〗 a_n cos nπ/l x+b_n sin nπ/l x)
із коефіцієнтами
a_n=1/l ∫_(-l)^l▒〖f(t)cos nπt/l〗 dt,n=0,1,2….
b_n=1/l ∫_(-l)^l▒〖f(t)sin nπt/l〗 dt,n=0,1,2….
Підставимо в ряд вирази для коефіцієнтів〖 a〗_n,〖 b〗_nтоді одержимо
f(x)=1/2l ∫_(-l)^l▒f(t)dt+∑_(n=1)^∞▒1/l ∫_(-l)^l▒〖f(t)(cos nπ/l tcos nπ/l x+sin nπ/l tsin nπ/l x)dt〗
Або
f(x)= 1/2l ∫_(-l)^l▒〖f(t)dt+ 1/l〗 ∑_(n=1)^∞▒∫_(-l)^l▒〖f(t)cos nπ/l〗 (x-t)dt. (1.1)
Частоти гармонік ω_n:0,π/l,2π/l,…,nπ/l,… утворюють арифметичну прогресію з різницею 〖∆ω〗_n=π/l. При збільшенні l відстані між частотами сусідніх гармонік зменшуються, дискретний спектр хвильових чисел ω_n згущується.
Якщо ж сегмент розвинення [-l;l], необмежено розширюючись в обидві сторони, охопить всю числову вісь, тобто l→+∞, то ∆ω_n→0, послідовність частот із дискретної перетвориться в неперервну множину дійсних невід’ємних чисел: 0 ≤ ω < +∞.
Означення 1.Функціюf(x)називають абсолютно інтегровною на всій дійсній осі, якщо існує невласний інтеграл
∫_(-∞)^(+∞)▒〖|f(x) |dx=M<+∞〗
Припустимо тепер абсолютну інтегровність функціїf(x) на всій осі Ox . Тоді при l→+∞ (x — фіксоване)отримаємо:
|1/2l ∫_(-l)^l▒f(t)dt|≤1/2l ∫_(-l)^l▒〖|f(t) |dt≤〗 1/2l ∫_(-∞)^(+∞)▒〖|f(t) |dt=M/2l〗→0,l→+∞
отже,
f(x)=lim┬(l→+∞)∑_(n=1)^∞▒1/l ∫_(-l)^l▒〖f(t)cos nπ/l〗 (x-t)dt. (1.2)
Встановимо, у що перейде ряд, коли l→+∞. Запровадимо
ω_1=π/l,ω_2=2π/l,…,ω_n=nπ/l,…;
∆ω_n=ω_(n+1)-ω_n=π/l⇔1/l=(∆ω_n)/π.
Тоді сума у правій частині (1.2) набуде вигляду
1/π ∑_(n=1)^∞▒〖∆ω_n 〗 ∫_(-l)^(+l)▒〖f(t)cos〗 ω_n (x-t)dt,
що нагадує інтегральну суму для функції змінної ω
ψ(ω)=1/π ∫_(-∞)^(+∞)▒〖f(t)cosω_n (x-t)dt,〗
утворену для інтервалу (0; +∞). Тому природньо очікувати, що, коли l→+∞ (∆ω_n=π/l→0) сума перейде в інтеграл
∫_0^(+∞)▒〖ψ(ω)dω=1/π〗 ∫_0^(+∞)▒dω ∫_(-∞)^(+∞)▒f(t)cosω(x-t)dt
Таким чином,
f(x)=lim┬(l→+∞)∑_(n=1)^∞▒1/l ∫_(-l)^l▒〖f(t)cos nπ/l〗 (x-0t)dt⇒
f(x)= 1/π ∫_0^(+∞)▒dω ∫_(-∞)^(+∞)▒f(t)cosω(x-t)dt (1.3)
Формулу (1.3) називають інтегральною формулою Фур’є (⇔зображенням функції f(x)інтегралом Фур’є), а інтеграл в правій частині формули — інтегралом Фур’є у дійсній формі.
Магістр