Вища математика (ID:1237138)

Завдання 1 Умова: Гомоморфно вiдобразити мультиплiкативну групу K коренiв 12- го степеня з одиницi на мультиплiкативну групу L коренiв третього сте- пеня з одиницi та побудувати фактор-групу групи K за ядром гомомор- фiзму, скласти таблицю Келi для фактор-групи. Розв’язання 1. Визначення груп K та L Група K — це мультиплiкативна група коренiв 12-го степеня з оди- ницi. Її елементами є комплекснi числа вигляду zk = e i 2πk 12 для k = 0, 1, . . . , 11. Позначимо генератор групи ω = e i 2π 12 . Тодi K = {ω 0 , ω1 , . . . , ω11}. Група L — це мультиплiкативна група коренiв 3-го степеня з одиницi. Її елементами є L = {e i 2πj 3 | j = 0, 1, 2} = {1, ei 2π 3 , ei 4π 3 }. 2. Побудова гомоморфiзму Розглянемо вiдображення ϕ : K → L, визначене як ϕ(z) = z 4 . Перевi- римо, чи є це гомоморфiзм: ϕ(z1 · z2) = (z1 · z2) 4 = z 4 1 · z 4 2 = ϕ(z1) · ϕ(z2) Це гомоморфiзм. Перевiримо, що образ вiдображення є вся група L. Не- хай z = ω k = e i 2πk 12 ∈ K. Тодi: ϕ(ω k ) = (ω k ) 4 = ω 4k = e i 2π(4k) 12 = e i 2πk 3 Оскiльки k може приймати значення 0, 1, . . . , 11, то k (mod 3) може бути 0, 1, 2. Таким чином, ми отримуємо всi елементи групи L. Отже, вiдобра- ження ϕ є сюр’єктивним гомоморфiзмом (епiморфiзмом). 3. Знаходження ядра гомоморфiзму Ядро гомоморфiзму H = Ker(ϕ) — це множина елементiв з K, якi вiдображаються в одиничний елемент групи L (тобто в 1). H = {z ∈ K | ϕ(z) = 1} = {z ∈ K | z 4 = 1} Це коренi 4-го степеня з одиницi. Знайдемо їх серед елементiв K: z = ω k = e i 2πk 12 . Умова z 4 = 1 перетворюється на (ω k ) 4 = ω 4k = 1. e i 2π(4k) 12 = e i 2πk 3 = 1