Рівноскладені фігури (ID:142842)

4. Задачі на розрізування і складання фігур Задача 1. Розбийте рівносторонній трикутник на 7 рівнобедрених, три з яких рівні між собою. Розв’язання: Нехай AB - найбільша сторона трикутника ∆ABC. Візьмемо спочатку на стороні AB точку D так, що AD = AC, потім на BC - точку E так, що BE = BD, потім на AC – точку F так, що CF = CE, потім на AB - точку G так, що AG = AF (рис. 25). Тоді GD = FC = CE. Нехай O - центр вписаного кола трикутника ABC. Так як і CA = DA, то, тому OC = OD. Аналогічно OF = OG, OC = OG і OD = OE. Тому OE = OD = OC = OG = OF, тобто на рис. 19 зображено необхідну розбиття. Задача 2. Доведіть, що будь-який багатогранник можна розрізати на опуклі багатогранники. Доведення: Проведемо всі площини, що містять межі даного багатогранника. Всі частини, на які вони розбивають простір, опуклі. Тому вони задають необхідне розбиття. Задача 3. Доведіть, що будь-який опуклий багатогранник можна розрізати на тетраєдри. Доведення: Візьмемо всередині багатогранника довільну точку Р і розріжем його межі на трикутники. Трикутні піраміди з вершиною Р, основами яких є ці трикутники, дає шукане розбиття (рис. 21).