Расчетное задание по высшей математике (ID:147428)

8. Задание 8. Найти область определения заданной функции. Сделать чертеж. . Решение : Логарифм определен только при положительных значениях его аргумента, поэтому или . Никаких других ограничений на аргументы и не дано. Чтобы изобразить геометрически область , найдем сначала ее границу. Уравнение определяет окружность радиуса 1 с центром в точке . Окружность делит всю плоскость на две области - внутреннюю и внешнюю по отношению к окружности . Для точек внутри круга, ограниченного окружностью , а также на границе этой области, где , - не существует. Следовательно, рассматриваемая область состоит из точек вне круга, ограниченного окружностью : 9. Задание 9. Найти для функции . Решение : 10. Задание 10. Исследовать на экстремум функцию : . Решение : По необходимому условию существования экстремума найдем стационарные точки : Из уравнений (1) и (2) очевидно, что в заданной области - (первый квадрант). Подставляя в уравнение (1), получим : . Решая это квадратное уравнение относительно , будем иметь : Поскольку не принадлежит заданной области , то и - стационарная точка. Проверим в этой точке выполнение достаточного условия, т.е. проверим знак второго дифференциала. Поскольку и , то в заданной области функция экстремума не имеет.