УПОРЯДКОВАНІ АЛГЕБРАЇЧНІ СИСТЕМИ (ID:155359)

Актуальність теми. Відношення порядку є одним з найважливіших відношень у числових системах. Упорядкована алгебраїчна система є складним математичним об’єктом, який одночасно наділений алгебраїчною структурою (півгрупи, групи, півкільця, кільця, поля тощо) і структурою упорядкованої множини, які між собою певним чином узгоджуються (через аксіоми монотонності). Взаємодія між алгебраїчними операціями і відношенням порядку в будь-яких алгебраїчних системах має глибокий, фундаментальний зміст, суть якого було поступово усвідомлено, починаючи з праць Р.Дедекінда з теорії решітчастих груп і далі в працях Е.Артіна та О.Шреєра з абстрактної теорії упорядкованих полів. Основи теорії упорядкованих множин були закладені відомим німецьким математиком Георгом Кантором. У 1883 р. він увів поняття цілком упорядкованої множини і порядкового числа, а в 1895 р. – поняття упорядкованої множини. Загальне ж поняття частково упорядкованої множини належить Ф. Хаусдорфу (1914 р.) [43]. Поняття упорядкованої групи виникло у зв'язку з питаннями обґрунтування математики, а саме, при побудові аксіом для теорії дійсних чисел. Дане поняття відіграє важливу роль при означенні дійсних чисел. Вже одна з перших теорем теорії упорядкованих груп – теорема Гьольдера [25] про ізоморфізм архімедівськи і лінійно упорядкованої групи підгрупі адитивної групи дійсних чисел – має фундаментальне значення для математики. Вона дозволяє означити дійсні числа як максимальну архімедівськи упорядковану групу. Крім того, вивчення лінійних порядків на групі має важливе значення для абстрактної теорії груп [1, 5, 12, 21, 26, 33, 41, 45].