«Математичні моделі краси» (ID:185795)

Вступ Навколишній світ - це світ геометрії чистої, справжньої, бездоганної в наших очах. Все навколо - геометрія. Ніколи ми не бачимо так ясно таких форм, як коло, прямокутник, кут, циліндр, гіпар, виконаних з такою ретельністю і так впевнено. Ле Корбюзьє Математика, гармонія, краса – поняття споріднені. Математичну точність, послідовність, логічність можна спостерігати у різних галузях нашого життя. Закони математики діють у будівництві, у скульптурах, живопису, мистецтві. Важко переоцінити роль математики серед інших наук, вона є тим ланцюжком, що поєднує науку та навколишній світ. Закони краси неможливо виразити кількома формулами. Але, вивчаючи математику, ми все ближче наближуємось до розуміння законів природи. Математика — одна з найдревніших наук. Перші математичні уявлення і поняття людина формувала в глибокій давнині, розв'язуючи найпростіші задачі практичного характеру. Ускладнювалися форми трудової діяльності, і перед людиною поставали складніші задачі, для розв'язування яких вона формувала нові математичні поняття, створювала математичні теорії. Отже, математика розвивалася під впливом двох головних стимулів: потреб практичної діяльності людини і логіки розвитку самої математики. Математика, гармонія, краса – поняття споріднені. Математичну точність, послідовність, логічність можна спостерігати у різних галузях нашого життя. Закони математики діють у будівництві, у скульптурах, живопису, мистецтві. Важко переоцінити роль математики серед інших наук, вона є тим ланцюжком, що поєднує науку та навколишній світ. Закони краси неможливо виразити кількома формулами. Але, вивчаючи математику, ми все ближче наближуємось до розуміння законів природи. Тому метою моєї роботи є поглиблення знань про математичні закономірності у витворах мистецтва, симетрію, про поняття «золотого перерізу» , дослідження зв`язків математики з красою навколишнього світу через практичне застосування математичних законів симетрії та золотого перерізу до об`єктів рідного села, його природи, народно-прикладного мистецтва; придбання навичок самостійної роботи з великими об`ємами інформації та початків дослідництва. Ми живемо в світі дивовижних форм і фарб. Природа старанно подбала про різноманіття своїх форм. Будучи її невід'ємною часткою, ми повсякчас стикаємося з ними: одних ми просто не помічаємо, інші викликають у нас захоплення і інтерес. Чим більше вимірів, співставлень і аналізування, тим більше відкриттів чекає нас. Просте запозичення природних форм, збільшення їх у багато разів і здійснення в іншому матеріалі - найпростіший, але і самий невірний шлях. Необхідно враховувати властивості природного матеріалу, які далеко не завжди можна повторити, роль масштабу і, найголовніше, - відмінність в призначенні і функціях форм живої природи і архітектурних споруд. У навколишньому світі зустрічається багато елементів, що вражають нас своєю красою і дивовижною структурою. В першу чергу, це творіння рук людини. Наприклад, правильна чотирикутна квадратна мозаїка - з її допомогою викладені і мостові, і дороги, і плитка в ванні. Але тільки квадратної мозаїкою не обмежується можливість заповнення певного простору. Вона може бути і трикутної, і шестикутної. Прикладом шестикутної можуть бути бджолині стільники. Навколо нас знаходиться і багато красивих симетричних архітектурних будівель, багато об'єктів як живий, так і неживої природи вражають нас своєю симетричною красою: метелики, квіти, кристалічні решітки елементів, атоми. Взагалі без геометрії не було б нічого. Я вважаю, що всі будівлі, які нас оточують, - це геометричні фігури, які є об'ємними багатокутниками. У XXI столітті геометрія та архітектура перетворили наші міста в величні мегаполіси. Розділ 1. Математичний інструментарій. Математи́чна моде́ль — система математичних співвідношень, які описують досліджуваний процес або явище. Математичне моделювання виступає як метод пізнання зовнішнього світу, а також прогнозування і управління. Аналіз математичних моделей дозволяє проникнути в сутність досліджуваних явищ. Людина використовує моделювання під час дослідження різних процесів, явищ та об’єктів в різноманітних сферах своєї діяльності. Моделювання допомагає приймати обґрунтовані рішення та дає змогу передбачати наслідки своєї діяльності. Моделювання являє собою побудову моделей для дослідження та вивчення об’єктів, явищ і процесів. В моделюванні ми стикаємося з таким поняттям як модель. Моделлю є спрощене уявлення про реальний об’єкт, процес або явище. 1.1. Золотий переріз. Золотий переріз (гармонійна поділ, поділ у крайньому і середньому відношенні) - поділ відрізка на дві частини таким чином, що більша його частина є середньою пропорційною між усім відрізком і меншою його частиною. Золотий перетин - це таке пропорційне ділення відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як сама велика частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так ставиться до більшого, як більший до всього Ніхто не стане сперечатися, що гармонію можна виразити цифрами - і в живописі, і в архітектурному просторі, і в музиці, і в самій природі. Золотий перетин, або Божественну пропорцію, можна виявити всюди. З числом φ пов'язаний ритм скорочень шлуночків серця людини. В пропорціях людського обличчя також присутній числа φ . Якщо ми розділимо кут нахилу спіралі ДНК на її діаметр або співвіднесемо довжину раковини молюска з її діаметром, то отримаємо всі то ж числа φ . При погляді на стовбур будь-якої рослини видно, що кожен лист росте на гілці під кутом, відмінним від кута нижнього листа. Найчастіше кут між наступними листям прямо співвідносимо з числом φ. Принципи «золотого перетину» використовуються в математиці, фізиці, біології, астрономії й інших науках, в архітектурі та ін мистецтвах. Вони лежать в основі архітектурних пропорцій багатьох чудових творів світового зодчества, головним чином античності і Відродження. «У геометрії є два скарби - теорема Піфагора і поділ відрізка в крайньому і середньому відношенні. Перше можна порівняти з цінністю золота, друге можна назвати коштовним каменем ». Ці слова сказав чотири століття тому німецький астроном і математик Йоганн Кеплер, вони є епіграфом практично до всіх працям, присвяченим «золотого перерізу». Геніальний вчений поставив пропорцію «золотого перетину» на один рівень з самої знаменитої геометричній теоремою. У математиці принцип «золотого перетину» вперше було сформульовано в «Початках Евкліда», найвідомішому математичному творі античної науки, написаному в III столітті до н.е. Секрети золотого розподілу ревно оберігалися, зберігалися в суворій таємниці. Вони були відомі тільки обраним. Минуло вже багато часу з моменту відкриття золотої пропорції ,але й зараз ми вважаємо її еталоном гармонії та краси. Суть золотого перерізу в тому, що відрізок поділяється внутрішньою точкою на такі дві частини, що відношення всього відрізка до більшої частини дорівнює відношенню цієї більшої частини відрізка до його меншої частини. Якщо весь відрізок прийняти за 1, а більшу його частину позначити Х, то менша частина відрізка буде дорівнювати (1-Х). За відношенням золотого перерізу 1: Х = Х: (1-Х), звідси 1:Х = Х: (1-Х); = 1-Х. Одержане рівняння +Х -1 = 0 має додатній корінь Х= =0,618… Відношення золотого перерізу 1/Х = 1,618… зазвичай позначають грецькою літерою φ. Так у науці вшановують пам`ять давньогрецького скульптора Фідія , який використовував золотий переріз у своїх творіннях. Відношення золотого перерізу називають ще формулою краси. Викладене вище свідчить про те, що математична розробка теорії пропорцій внесла в науку позитивний вклад, однак, математична точність ще сама по собі не визначає пропорційності і гармонії при створенні будь-якого предмету. Математичний метод дає лише кількісне поняття і знання існуючих пропорційних закономірностей, але не дає якісної сторони, тобто краси. [3,с.62-71] Німецький фізик і психолог Густав Фехнер дослідив, що людині подобаються більше ті об'єкти, пропорції яких знаходяться у відношенні золотого перерізу. Виявляється,що кривизни акомодулюючого кришталика нашого ока відносяться як 3:5, що відповідає золотому перерізу. Тому нам більше подобаються і здаються прекрасними ті речі які відповідають золотому перерізу. Рис 1. Розглянемо рисунок 1. Відрізок прямої АВ можна розділити точкою C на дві частини наступними способами: • На дві рівні частини АВ: АC = АВ: ВС; • На дві нерівні частини в будь-якому відношенні АВ: АC = АC: ВС. Останнє і є золотий розподіл або розподіл відрізка в крайньому і середньому відношенні. Алгебраїчно «золотий перетин можна виразити таким чином: AB: AC = AC: (AB - AC), звідки AC = AB: 2 (√ 5 - 1) ≈ 0,62 AB. Число 0,62 позначено літерою φ. [2,с.8-13] Інтерес людини до природи призвів до відкриття її фізичних і математичних закономірностей. Краса природних форм народжується у взаємодії двох фізичних сил - тяжіння та інерції. Золота пропорція - це математичний символ цієї взаємодії, оскільки виражає основні моменти живого зростання: стрімкий зліт юних пагонів змінюється уповільненим зростанням «за інерцією» до моменту цвітіння. Розглядаючи розташування листя на загальних стеблі багатьох рослин, можна помітити, що між кожними двома парами листя третій розташована в місці «золотого перетину». «Золоту спіраль» також можна помітити в творах природи. Наприклад, розташування насіння у кошику соняшнику. Вони шикуються уздовж спіралей, які закручуються як зліва направо, так і справа наліво. В один бік у середнього соняшнику закручено 13 спіралей, в іншу - 21. Відношення 13: 21 - ставлення Фібоначчі.У більших суцвіть соняшнику кількість відповідних спіралей більше, але відношення числа спіралей, закручуються в різних напрямках також дорівнює числу j. Схоже спіральне розташування спостерігається у лусочок соснових шишок або осередків ананаса. За золотої спіралі згорнуті раковини багатьох молюсків, деякі павуки, сплітаючи павутину, закручують нитки навколо центру з золотим спіралях. Рогу архарів закручуються по золотих спіралях. Природа повторює свої знахідки, як в малому, так і у великому. За золотим спіралях закручуються багато галактик, зокрема і галактика Сонячної системи. [5,с.85-90] Знайомство з принципами «золотого перетину», допомагає бачити гармонію і доцільність оточуючих нас творінь природи і людини. Можна зробити висновки: • По-перше, золотий переріз - це один з основних основоположних принципів природи; • По-друге, людське уявлення про красивий явно сформувалося під впливом того, який порядок і гармонію людина бачить у природі. Ряд чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д.. Відомий як ряд Фібоначчі. Унікальність послідовності чисел, в тому що кожен її член, починаючи з третього дорівнює сумі двох попередніх 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 і т.д. , а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого поділу. Властивості послідовності: • Кожне третє число Фібоначчі парне; • Кожне четверте число число Фібоначчі ділиться на три; • Кожне п’ятнадцяте число Фібоначчі закінчується нулем; • Два сусідні число Фібоначчі взаємно прості. [4, c.31-34]