Теорема Банаха та метод послідовних наближень (ID:212120)

І. Вступ Розв’язування вправ задач складає невід’ємну частину повноцінного вивчення математики на будь-якому рівні – від початкового, шкільного, і до спеціальної математичної освіти. Процес розв’язування задач схожий на невелике дослідження. Як і в справжньому науковому дослідженні, наперед не завжди відомо, якою повинна бути послідовність дій для отримання результату. Тут нам допомагає використання різних математичних апаратів та аналіз отриманих при цьому результатів. Таким чином, актуальність вибраної теми зумовлена: • не достатньо високим рівнем знань студентів з курсу математики; • невмінням використовувати відповідний математичний апарат при розв’язуванні задач. Актуальність проблеми та її недостатня розробленість зумовили вибір теми дослідження: “Теорема Банаха та метод послідовних наближень. У цій дипломній роботі розглядається одне з фундаментальних тверджень функціонального аналізу – теорема Стефана Банаха про нерухому точку. Деякі важливі теореми з різних областей математики є, по суті, окремими випадками загальних тверджень функціонального аналізу. Таким загальним твердженням є й теорема про нерухому точку. У відповідності до обраної теми було встановлено об’єкт дослідження – теорема Банаха про нерухому точку та її практичне застосування. Предметом дослідження є задачі та метод їх розв’язування (використання теореми Банаха та методу послідовних наближень). Мета дослідження – на основі аналізу, узагальнення та систематизації наукової літератури з’ясувати, як застосування теореми Банаха про нерухому точку спрощує розв’язування задач з математики. Відповідно до предмета і мети поставлено основні завдання дослідження:  підібрати теоретичний матеріал, необхідний при розв’язуванні задач;  дослідити вправи і задачі, які розв’язуються за допомогою застосування теореми Банаха та методу послідовних наближень;  проаналізувати можливі результати, отримані при розв’язуванні задач із застосуванням теореми Банаха. Підібраний матеріал і результати дослідження дадуть змогу викладачам та студентам більш раціонально підходити до розв’язування задач з математики. Для реалізації поставлених завдань застосовувалися такі методи дослідження:  вивчення наукової літератури;  аналіз, систематизація та узагальнення теоретичних даних; Дипломна робота складається з чотирьох основних частин: вступу, теоретичного розділу про метричні простори та теорему Банаха, розділу застосування теореми та висновків. У вступі визначені об’єкт, предмет, мета досліджень, поставлені основні завдання та методи їх реалізації. В теоретичній частині викладені основні теоретичні відомості дослідження з даної теми. У розділі застосування теореми наведені приклади розв’язання задач із застосуванням теореми Банаха та методу послідовних наближень. У висновках узагальнюються отримані теоретичні та практичні результати дослідження.