Параметричні коливання в системах з сухим та в’язким тертям (ID:204485)

Вступ Велетенський розмах будівництва у світі вимагає постійного вдосконалення засобів механізації будівельних робіт, серед яких важливе місце займають вантажо-підіймальні машини. У процесі експлуатації такі конструкції, як правило, зазнають інтенсивних вібраційних навантажень. І це визначає необхідність проводити дослідження їх коливань. Такі коливання створюють пряму загрозу міцності елементів конструкцій підймно-транспортних машин. Коливання здатні порушити нормальні умови експлуатації і вже неодноразово приводили до аварій і катастроф. Тому тільки з врахуванням коливань можна обрати оптимальні параметри конструкції та режими роботи машини, віддалені наскільки це можливо від критичних режимів, які є небезпечними. З проведеного аналізу сучасних методів розрахунку канатів підіймальних машин на динамічні навантаження було відмічено, що розрахунки проводяться тільки в лінійній постановці. Дослідження лінеаризованих систем хоча і дає змогу зробити корисні висновки про властивості коливань каната з вантажем, але не дає повної характеристики реальних коливальних процесів. Зокрема, застосовуючи лінійний підхід, неможливо знайти амплітуду параметричних коливань. При підйомі вантажу на висоту більш ніж 60 метрів задача коливань каната з вантажем є суттєво геометрично нелінійною. Тому в даній роботі розглядаються параметричні коливання з урахуванням вязкого та сухого тертя, що є актульною задачею. Розділ 1. Природа коливань. Їх різновиди Коливання – зміна в часі деякої фізичної величини навколо значення, що відповідає рівноважному стану системи. Найчастіше спостерігаються періодичні та квазіперіодичні коливання, бувають також аперіодичні та стохастичні. Коливання, які з часом поширюються в просторі, називають хвилями. За своєю природою коливання фізичних систем бу¬вають механічними або електромагнітними. Можливі також коливання у хімії (реакції Бєлоусова–Жаботинсь¬¬кого, що супроводжуються періодичною зміною концентрації реବгентів), екологічні (коливання кількості особин при взаємодії популяцій х謬жак–здобич), у біологічних (робота сер¬¬ця) системах. Коливні системи різної природи в багатьох випа䬬ках мають подібні властивості й описуються однаковими диференціальними рівняннями. Найпростіший приклад коливальної системи – модель лінійного консервативного осцилятора, яка описує широкий клас реальних систем при невеликих відхиленнях від положення рівноваги: фізичний маятник (вантаж на підвісі), пружинний маятник (ван¬¬таж на пружині), коливальний контур у радіотехніці, акустичний резонатор, резонатор електромагнітних коливань тощо. У лінійного осцилятора с謬¬ла, що повертає систему в положення рівноваги, лінійно залежить від відхилення від цього положення. Вільні коливання такої системи (тобто коливання, зумовлені тим, що в початковий момент часу систему вивели зі стану рівноваги, а потім відпустили) є гармонічними: зміна відхилення системи від положення рівноваги з часом відбувається за законом синуса (або косинуса): x(t) = Asinφ(t), де φ(t) = ω0t + φ0. Гармонічні коливання характеризуються амплітудою A (максимальне відхилення від положення рівноваги), фазою φ(t) (характеризує стадію коливань у даний момент часу; φ0 – початкова фаза), періодом T0 (найменший проміжок між двома моментами часу, коли система п嬬ребуває в однаковому стані; визначається лише властивостями осцилятора). Період визначає циклічну частоту ν0 = 1/T0 (кількість коливань за одиницю часу) та кругову частоту ω0 = 2πν0. Двічі за період коливання у системі відбувається перетворення кінетичної енер¬¬гії в потенціальну (в механічних системах) або енергії електричного поля в енергію магнітного поля (в електромагнітних системах). Для лінійного консервативного осцилятора спра⬬джується закон збереження енер¬¬гії: сума потенціальної (електричної) та кінетичної (магнітної) енергії з часом зберігається. Коливання лінійного ос¬¬цилятора є ізохронними (період коливань T0 не залежить від їхньої амплітуди A). Врахування втрат (дисипації) енергії (тертя та ін.) призводить до того, що з часом амплітуда вільних коливань згасає (модель лінійного дисипативного осцилятора). Таке згବсання притаманне майже всім реальним макроскопічним осциляторам. За наявності дуже сильної диси¬пації відхилення від стану рівноваги з часом зменшується екс¬¬поненціально (аперіодичні коливання). При великих відхиленнях систем від положення рівноваги коливання стають нелінійними: повертальна сила починає нелінійно залежати від відхилення від положення рівноваги (модель нелінійного осцилятора). У цьому випа䬬ку форма коливання перестає бути гар¬¬мнічною (в спектрі з’явля¬¬ють¬¬ся вищі гармоніки), а період коливання починає залежати від їхньої амплі¬¬туди (неізохронність). Коливання, спричинені дією на осцилятор зовнішньої сили, називають вимушеними. Якщо зовнішня сила є гармонічною, а її частота w збігається з частотою власне коливань. ω0, у лінійному консервативному осциляторі спостерігається резонанс – лінійне в часі зростання амплітуди коливання до нескінченності. У реальних системах резонансна амплітуда коливання обмежується ефектами згасання або неізохронності, коли зі зрос¬¬танням амплітуди частота власне коливання змінюється та з’являється розстроювання між нею і частотою зовнішньої сили (нелінійний осц謬лятор). Дія періодичної сили на не¬-лінійний осцилятор може призвес¬¬ти до появи стохастичних (випадкових) коливань. У такому режимі поведінка коливальної системи виявляється не¬-передбачуваною, оскільки вона залежить ... Розділ 2. Параметричні коливання і їх застосування Параметричні коливання відбуваються тоді, коли один із параметрів коливальної системи періодично змінюється. Розглянемо приклад механічного параметричного коливання. Нехай маємо маятник, довжину якого можна змінювати. Будемо періодично змінювати довжину маятника, підтягуючи нитку кожного разу, коли маятник буде в стані рівноваги, і будемо відпускати при крайніх положеннях маятника (рис. 2.1). Тоді помітимо, що маятник коливається із зростаючою амплітудою. Рис. 2.1 Збільшення амплітуди коливання при періодичній зміні одного із параметрів коливальної системи одержало назву параметричного резонансу. Пояснення цього явища таке: коли ми вкорочуємо нитку в положенні 0, то зовнішня сила здійснює роботу, збільшуючи потенціальну енергію коливальної системи, що призводить до зростання амплітуди коливань. Аналогічне явище параметричного резонансу спостерігається і в електричних коливальних контурах, якщо параметри контура (ємність, індуктивність) періодично змінюються. Розглянемо коливальний контур LC, що має конденсатор із рухомою пластиною, яку можна то наближати, то віддаляти відносно другої пластини (рис. 2.2). Розділ 3. Параметричні коливання в системах з сухим та в’язким тертям Перш ніж перейти до вивчення основного питання, слід розглянути поняття тертя, дослідити певні його особливості. Так, сила тертя у фізиці — це непотенційна сила, яка протидіє рухові фізичного тіла, розсіюючи його механічну енергію в тепло. За ДСТУ 2823-94 сила тертя — сила, що чинить опір відносному переміщенню одного тіла по поверхні іншого під дією зовнішньої сили, і яка спрямована тангенціально до спільної границі між цими тілами. За своєю фізичною природою сила тертя належить до електростатичних сил і не є фундаментальним типом взаємодії. В мікроскопічному світі сили тертя немає. Сила тертя виникає лише в макроскопічних системах, де внаслідок хаотичного руху атомів відбувається необоротний процес розсіяння енергії макроскопічного руху складових системи в енергію мікроскопічного руху атомів та молекул. Сила тертя завжди направлена проти вектора швидкості. Сила тертя не належить до потенціальних сил. Коли тіло рухається в газі чи рідині, сила тертя пропорційна швидкості, при великих швидкостях — квадрату швидкості. Вивченням процесів тертя займається розділ фізики, який називається механікою фрикційного взаємодії, або трибологією (англ. tribology). Основною характеристикою тертя є коефіцієнт тертя μ, який визначається речовинами, з яких виготовлені поверхні взаємодіючих тіл. У найпростіших випадках сила тертя F та нормальне навантаження (або сила нормальної реакції) Nnormal зв'язані нерівністю: |F|≤ μ Nnormal Висновки В ході написання даної роботи мною було розкрито теоретичні аспекти коливать, їх сутності та різновидів. Особливу увагу було приділено питанню параметричних коливань, їх особливостям в системах з сухим та в’язким тертям. Одержані компактні формули дозволяють проводити розрахунок амплітуд затухаючих коливань зведеного механізму при спільній дії сил в’язкого і сухого тертя. При цьому є можливість знайти таке початкове відхилення коливальної системи від положення рівноваги, коли вона здійснить задану кількість розмахів. Розрахунки показують, що зі збільшенням коефіцієнта в’язкого опору суттєво скорочується кількість розмахів, які робить коливальний механізм до повної його зупинки. Без дії сили сухого тертя така зупинка не можлива. Отже, при спільній дії сил сухого і в’язкого тертя параметричні коливання проходять на скінченому проміжку часу з обмеженою кількістю розмахів.