Застосування теорії лишків при розв’язуванні задач з теоретичної фізики (ID:212139)

I. ВСТУП Розв’язування задач складає невід’ємну частину повноцінного вивчення фізики на будь-якому рівні – від початкового, шкільного, і до спеціальної фізичної освіти. Казати про степінь розуміння фізичних законів можна по вмінню свідомо застосовувати їх для аналізу конкретних фізичних явищ, тобто для розв’язування задач. Досвід показує, що найбільш складним для учнів є питання “з чого почати ”, тобто не саме використання фізичних законів, а їх вибір, та вибір математичних методів, які при цьому застосовуються. При розв’язуванні задач необхідне уміння впевнено застосовувати закони фізики та математики. Процес розв’язування задач схожий на невелике дослідження. Як і в справжньому науковому дослідженні, наперед не завжди відомо, якою повинна бути послідовність дій для отримання результату. Тут нам допомагає використання різних математичних апаратів та аналіз отриманих при цьому результатів. Таким чином, актуальність вибраної теми зумовлена: • не достатньо високим рівнем знань студентів з курсу математики та фізики; • невмінням використовувати відповідний математичний апарат при розв’язуванні фізичних задач. Актуальність проблеми та її недостатня розробленість зумовили вибір теми дослідження: “Застосування теорії лишків при розв’язуванні задач з теоретичної фізики ”. У відповідності до обраної теми було встановлено об’єкт дослідження – математичні методи та їх застосування при розв’язуванні задач з фізики. Предметом дослідження є фізичні задачі та метод їх розв’язування (використання теорії лишків). Мета дослідження – на основі аналізу, узагальнення та систематизації наукової літератури з’ясувати, як використання теорії лишків спрощує розв’язування задач з теоретичної фізики. Відповідно до предмета і мети поставлено основні завдання дослідження:  підібрати матеріал з математики, необхідний при розв’язуванні задач з фізики;  дослідити фізичні задачі, які розв’язуються за допомогою використання теорії лишків;  проаналізувати можливі результати, отримані при розв’язуванні задач із застосуванням теорії лишків. Підібраний матеріал і результати дослідження дадуть змогу викладачам та студентам більш раціонально підходити до розв’язування задач з теоретичної фізики. Для реалізації поставлених завдань застосовувалися такі методи дослідження:  вивчення наукової літератури;  аналіз, систематизація та узагальнення теоретичних та експериментальних даних;  бесіди з викладачами теоретичної фізики, спостереження за їх діяльністю. Дипломна робота вкладається з чотирьох основних частин: вступу, теоретичної частини, практичної частини та висновків. У вступі визначені об’єкт, предмет, мета досліджень, поставлені основні завдання та методи їх реалізації. В теоретичній частині викладені основні теоретичні відомості та дослідження з даної теми. У практичній частині проведені дослідження фізичних явищ шляхом розв’язання задач із застосуванням теорії лишків. Тут аналізуються отримані результати та розкривається практичне їх значення. У висновках узагальнюються отримані теоретичні та практичні результати дослідження. III. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА. 1. Задача про розсіяння. В квантовій теорії розсіювання зустрічається функція (98) де - дійсне і додатнє. Із фізичних умов слідує, що функція повинна мати форму , так як це – розбіжна хвиля. Скористаємося відношенням sh (99) і перепишемо інтеграл (98) в комплексній площині у вигляді (100) де (101) Інтеграл І1 аналогічний до інтеграла (34). Для І1 доповнимо контур інтегрування півколом нескінченного радіуса у верхній півплощині. Підінтегральна функція в І2 містить від’ємну експоненту, тому ми замкнемо контур інтегрування півколом в нижній півплощині (рис.12). Як і у випадку інтеграла (34), інтегрування по цим півколам не робить ніякого внеску в інтеграл. Підінтегральна функція має полюси в точках та , які лежать безпосередньо на контурі інтегрування. Лишки в цих точках для І1 рівні відповідно і , а для І2 рівні та . Роблячи обхід особливих точок, як показано на рис.12, і користуючись теоремою про лишки, отримуємо , (102) причому особливість в точці при обході потрапила всередину контура, а особливість в точці виявилася виключеною. Аналогічним чином, але враховуючи, що обхід контура здійснюється за часовою стрілкою, запишемо для інтеграла І2: (103) Рівняння (102) і (103) додамо і отримаємо ch (104) В математичному сенсі ми отримали точний вираз для інтеграла (98), проте, косинусоїдальна залежність відповідає стоячій хвилі, тоді як нам необхідно виділить у розв’язку розбіжну хвилю. Спробуємо отримати розв’язок потрібної нам форми, який би задовольняв фізичні умови задачі. Замість обходу особливих точок змістимо їх з дійсної осі. Зокрема, якщо замінити , де додатній параметр малий по величині і в кінцевому результаті вважається рівним нулю, тобто , (105) то після здійсненої заміни і застосування теореми про лишки отримаємо для першого інтеграла (106) Аналогічно для другого інтеграла (107) Додамо (106) і (107) та перейдемо до границі (108) Цей результат відповідає граничним умовам задачі про розсіяння. Цікаво послідкувати, яким чином підстановка приводить до значення інтеграла (109) яке відповідає падаючій хвилі. Очевидно, що результат (104) являє собою середнє арифметичне рівнянь (108) і (109), яке і являється головним значенням інтеграла. Відмітимо, що різні можливі результати (104), (108) і (109) виникли як наслідок того, що заданий інтеграл – невласний. Він не може бути однозначно визначеним до тих пір, поки не введено допоміжні обмежуючі умови (чи не проведено усереднення). Отже, ми бачимо, що дана фізична задача може мати різні розв’язки. І вони головним чином залежать від вибору шляху інтегрування. Отримати правильний результат можливо, застосувавши теорію лишків. 2. Стійкість підсилювального контура. На рис.13 схематично показаний підсилювач зі зворотним зв’язком. Вхідний та вихідний сигнали рівні відповідно Es i E0. деяка частина вихідного сигналу ( може бути комплексною величиною) подається знову на вхід, де додається із вхідним сигналом Es. Сума Eg являє собою дійсний вхідний сигнал, що подається на підсилювач, (110) Окрім того, (111) де А – коефіцієнт підсилення. Так само як і , А може бути комплексним. І А, і можуть залежати від кругової частоти вхідного і вихідного сигналів. Підставимо в (111) конкретне значення Eg із (110): (112) Нестійкість роботи контура ( коливання і т. д.) характеризується наявністю деякого сигналу на виході без подачі будь-якого сигналу на вхід, тобто Es=0, a . Із рівняння (112) умова нестійкості запишемо так: (113) Тут відповідно до умови задачі Якщо корінь рівняння розміщений на додатній частині дійсної осі, ми маємо експоненціально зростаючу нестійкість. Якщо це рівняння має комплексний розв’язок, який розміщений в правій півплощині, нестійкість буде осциляторною. Різниця між повним числом нулів N і полюсів Р функції, що повторюються стільки разів, скільки кратний нуль чи полюс, задається інтегралом (його іноді називають інтегралом Коші) (114) де N i P – нулі і полюси всередині контура С. Для того, щоб довести (114), розглянемо нуль n-го порядку функції в точці z=z1. тоді (115) Продиференціюємо це рівняння (116) після чого підінтегральну функцію із (114) запишемо у вигляді (117) Інтегруючи по контуру С1 навколо точки z1, отримаємо кратність нуля в цій точці: (118) Для полюса порядку m в точці z=z2 маємо (119) Аналогічно виразу (117) матимемо підінтегральну функцію (120) а інтеграл по контуру С2 з точкою z2 всередині нього рівний числу полюсів з від’ємним знаком: (121) Додавши (118) і (121), отримаємо інтеграл (114). В подальшому будемо вважати, що функція не має полюсів у півплощині Тоді, якщо проінтегрувати в правій частині комплексної півплощини, рівняння (114) вкаже на наявність нулів. Якщо при цьому , (122) то N=0, а досліджувана система стійка. В якості контура С взята уявна вісь і півколо (нескінченного радіуса), що замикає контур в правій півплощині. Для обчислення інтеграла (114), тобто для перевірки (122), покладемо, що (123) Прологарифмуємо (123) (124) тоді (125) Підставимо це все (114) і отримаємо (126) Оскільки контур С замкнутий, перший інтеграл справа зникає. Другий інтеграл дає або нуль, залежно від того, міститься всередині контура інтегрування початок координат чи ні. Відповідно, можна стверджувати, що стійкість підсилювача визначається тим, чи потрапляє початок координат всередину графіка функції , коли змінна z пробігає значення від до . Якщо всередині кривої не міститься початок координат, то , (127) (128) і в правій півплощині нулі відсутні. Відповідно, підсилювач стійкий. Отримана умова називається критерієм стійкості Найквіста. Отже, застосовуючи теорію лишків, можна встановити умову стійкості підсилювального контура. Це є важливим при розв’язуванні деяких фізичних задач. 3. Функції Гріна. Нехай задано рівняння руху для осцилятора, який знаходиться під дією зовнішньої сили: (129) (для спрощення масу вважатимемо рівною одиниці). Знайдемо розв’язок цього рівняння у формі інтеграла Фур’є . (130) Аналогічним чином представимо зовнішню силу . (131) Зворотне перетворення матиме вигляд (132) Рівняння руху (129), переписане для фур’є-образів та , стане алгебраїчним: . (133) Розв’язуючи його відносно , отримаємо . (134) Член (134) може дати нам розв’язок вільного рівняння (до того ж це загальний розв’язок: оскільки аргумент в (133) має два корені, то можна вибрати довільні константи для кожного із цих коренів незалежно. Тобто внесок додаткового члена залежить від двох довільних констант, що є необхідним для загального розв’язку рівняння другого порядку). Головний пропорційний член в (134) дає частинний розв’язок неоднорідного рівняння (129). Отже, весь вираз рівняння (134) призводить до загального розв’язку. Розглянемо частинний розв’язок неоднорідного рівняння. Підставивши (134) та (130) з використанням (132) , отримаємо для x(t) . (135) Помінявши порядок інтегрування, (135) можна записати у вигляді , (136) де функція від двох аргументів - функція Гріна рівняння (129) (137) Легко переконатися, що функція Гріна задовольняє рівняння , тобто рівняння (129) з - образною зовнішньою силою. Таким чином представлення розв’язку у формі (136) можна розуміти як представлення розв’язку рівняння (129) з довільною правою частиною у вигляді суперпозиції розв’язків того ж рівняння з зовнішніми силами у вигляді коротких імпульсів, що діють у різні моменти часу. Підінтегральний вираз в (137) має полюси в точках . Обчислення інтеграла в межах від до , тобто вздовж дійсної осі в комплексній площині , безглузде, оскільки інтеграл в звичайному розумінні не існує. Надамо йому змісту. Спочатку виключимо з області інтегрування особливості, а потім позбудемося цього виключення за допомогою граничного переходу. Застосуємо в якості такої операції деформацію контура інтегрування, що виводить його в комплексну площину, з подальшим граничним поверненням на дійсну вісь . Змінимо обхід полюса, тобто обійдемо навколо нього. Проінтегруємо по контуру (рис. 14), який обходить обидва полюси у від’ємн