МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ОПТИМАЛЬНОЇ ВЗАЄМОДІЇ ЕКОНОМІЧНИХ СИСТЕМ (ID:132619)

ВСТУП Актуальність теми та аналіз основних досліджень. Метод математичного моделювання — на сьогодні найбільш розвинута галузь математики і при правильному підході дозволяє вирішувати більшість математичних, фізичних, астрономічних, технічних задач. Але метод математичного моделювання в економіці не настільки поширений і, на жаль, сучасні економісти не беруть його до уваги в якості потужного інструменту розв’язання економічних задач. Проте він може бути застосований (як це буде показано у роботі) в економіці для планування оптимального розподілу бюджетних коштів АР Крим, що направляються на закупівлю імпортних технологій, засобів виробництва, предметів споживання тощо. Це важливо з огляду на складну економічну ситуацію в Україні. Актуальність роботи обумовлена, з одного боку, великою зацікавленістю до теми моделювання взаємодії економічних систем і зовнішнього середовища в сучасній науці, з іншого боку, її недостатньою розробленістю. Розгляд питань пов'язаних з даною тематикою носить як теоретичну, так і практичну цінність. Проблематика роботи знаходиться на стику відразу декількох наукових дисциплін. Для опису функціонування різних систем, що розвиваються (РС), академіком В.М. Глушковим були запропоновані інтегральні рівняння вольтерівського виду, відмінною особливістю яких була наявність функцій (заданих або ж шуканих) в нижніх межах інтегралів [15]. Аналогічний підхід було запропоновано також академіком В. Л. Канторовичем [19,20]. В роботах В. В. Іванова, С. К. Гірліна, Ю. П. Яценко були запропоновані інтегральні моделі двохпродуктових, багатопродуктових і континуальних РС, досліджені питання існування, єдиності і стійкості розв'язків систем інтегральних рівнянь, вивчені задачі оптимального управління в інтегральних моделях РС з керованою (шуканої) пам'яттю, запропоновані алгоритми чисельного розв’язання поставлених задач та досліджено питання їх ефективності [3,5-7,9-14,17,23-25]. Були розглянуті також багато прикладних питань застосування інтегральних моделей В.М. Глушкова для управління розвитком економічних систем, зокрема запропонована досить загальна інтегральна багатосекторна економічна модель, що дозволяє ефективно описувати процеси створення та розподілу нових і згортання застарілих робочих місць [23]. В роботі С. К. Гірліна була побудована двохпродуктова модель розвитку економічної відкритої системи (у тому числі, що виникає, тобто з відсутньою початковою передісторією), також поставлені дві оптимізаційні задачі моделювання та аналітично розв’язано одне окреме питання поставленої оптимізаційної задачі розподілу внутрішніх ресурсів системи [1,5,8]. У даній роботі аналітично вирішена задача найкращого розподілу зовнішнього ресурсу між підсистемами системи при заданому розподілі внутрішніх ресурсів та сформульовано закон «розумного егоїзму» системи. У тому випадку, якщо здійснюється тривале за часом планування функціонування системи, то найбільш успішною (за якої для економічної системи максимізується випуск продуктів споживання і послуг протягом заданого тимчасового відрізка) є така стратегія, при якій система насамперед і протягом тривалого періоду часу значну частину зовнішніх ресурсів, а іноді і всі наявні ресурси витрачає на своє самовдосконалення, на підвищення своїх потенційних можливостей. Для цього створюються нові технології виробництва технологій виробництва нових робочих місць і продуктів системи, і лише в кінці часового відрізку планування система витрачає всі ресурси на виконання своєї основної (головної) функції (для економічної системи - це випуск продуктів споживання і послуг) [11]. В роботі С. К. Гірліна та Л. О. Шевченко доведено, що цей закон використовується і для того випадку, коли продукти споживання и послуги мають властивість з часом втрачати свою цінність для споживача внаслідок появи нових технологій виробництва принципово нових продуктів споживання і послуг (телефони в значній мірі втратили свою споживчу цінність внаслідок появи мобільних телефонів) [13]. Об'єкт дослідження роботи: процес взаємодії систем, що розвиваються (на прикладі взаємодії економічних систем). Предмет дослідження: система інтегральних рівнянь вольтерівського типу, що описують процес взаємодії систем, що розвиваються, та достатні умови існування розв’язку отриманої системи рівнянь для однієї з можливих задач моделювання. Мета роботи: побудувати математичну модель процесу взаємодії систем, що розвиваються. Основні завдання: • знайти достатні умови існування єдиного розв’язку досліджуваної системи рівнянь; • поставити деякі оптимізаційні задачі взаємодії систем. Методи дослідження. У роботі використовувалися методи математичного аналізу (метод математичної індукції, достатні умови існування оберненої функції), основні факти теорії інтегральних рівнянь, а також деякі теореми функціонального аналізу (узагальнений принцип стискаючих відображень). Новизна результатів. Запропонована в роботі математична модель процесу взаємодії систем, що розвиваються, є новою, більш простішою і реалістичною, ніж модель, яка досліджувалась Гірліним С.К. в його дисертації [8], оскільки у запропонованій моделі враховується час транспортування продуктів з однієї системи до другої. Доведені в роботі теореми 1 і 2 також є новими. Результати роботи опубліковано у двох наукових статтях, а також були висвітлені на V міжнародній науково-практичній конференції «Перспективи і пріоритети стійкого розвитку економіки в умовах глобалізації» (м. Ялта, 19-20 листопада 2011 р.) та на сайті міжнародної студентської наукової електронної конференції «Студентський науковий форум 2012» (http://rae.ru/forum.2012/17/2522). .... ВИСНОВКИ ДО РОЗДІЛУ 1 Для описання будь-якої системи використовуються інтегральні рівняння, саме тому в першому розділі роботи розглянуто основні класи інтегральних рівнянь такі як рівняння Фредгольма та рівняння Вольтера. Для моделювання взаємодії систем використовують саме рівняння Вольтера. Також в першому розділі розглянуто основні властивості систем, що розвиваються, та приведенні приклади систем, які необхідно описувати за допомогою математичних моделей. Прикладами таких систем є еколого-економічні системи, різні галузі економіки, виробничо-технічні об'єднання, окремі підприємства, науково-технічний прогрес в цілому, організм людини або тварини, клітини, органи і системи організму, популяції різних видів тварин і рослин, біогеоценози. Система, яка складається із двох підсистем: підсистеми А - підсистеми вдосконалення всієї системи, у якій частиною продуктів першого роду (які матеріально, енергетично й інформаційно забезпечують внутрішню функцію системи - існування й розвиток системи) створюються нові, більше ефективні (наприклад, більше продуктивні) продукти першого роду, і підсистеми Б, у якій іншою частиною продуктів першого роду виконується основна (зовнішня) функція системи - випуск деяких продуктів другого роду, які матеріально, енергетично й інформаційно забезпечують цю зовнішню функцію (яка є результатом взаємодії з зовнішнім середовищем). Таку систему будемо називати системою, що розвивається (РС). Якщо продуктiв першого або другого роду декiлька, то розглядають багатопродуктовi (n-продуктовi) системи, що розвиваються. Якщо продуктів дуже багато, тоді розглядають континуальні системи, що розвиваються. .... РОЗДІЛ 2 МОДЕЛЮВАННЯ ВЗАЄМОДІЇ ЕКОНОМІЧНИХ СИСТЕМ 2.1. Моделювання взаємодії двохпродуктових систем, що розвиваються Позначимо через швидкості появи в розглянутій економічній системі (ЕС) з номером в момент часу t нових продуктів відповідно першого та другого роду (продукти першого роду забезпечують існування , другого роду - виконання зовнішніх функцій в ЕС продуктами першого роду є, наприклад, робочі місця (РМ), а продуктами другого роду - продукти системи, які направляються зовнішньому «замовнику»); - швидкості надходження в в момент t зовнішнього ресурсу ( припускаються однієї розмірності). - швидкості надход-ження в в момент t продуктів відповідно першого та другого роду, - коефіцієнт узгодження розмірності величин та ; - долі , які використовуються в подальшому для виробництва відповідно та , - максимальний момент часу, раніше якого з’явившись в ЕС продукти першого роду не функціонують по каналам відповідно в момент ( інтервал часу називається продовженням післядії або пам’яттю системи), - швидкість створення в момент часу нових продуктів відповідно першого та другого роду, припадаючи на одну одиницю з відповідно - кількість функціонуючих (утворюючих) продуктів першого роду в момент часу в ; на відрізку задані функції (відомі на початковій передісторії функції позначимо тими же буквами але з індексом «0»); - момент початку моделювання ЕС (ЕС є виникаюча, якщо ); всі розглянуті функції є додатними. Рівняння моделі взаємодії ЕС та зовнішнього середовища має вигляд: де на відрізку , задані невід’ємні неперервні функції (тобто задана початкова передісторія), Теорема 1. Нехай задані додатні неперервні в своїх областях визначень функції , додатні диференційовані функції невід’ємні неперервні в своїх областях визначень функції , а також невід’ємні неперервні в своїх областях визначень функції додатне число , Тоді система рівнянь та нерівностей - має на єдиний розв’язок якій можна знайти методом простої ітерації, причому функції неперервні, а диференційована на Доведення. Введемо нову змінну Нехай час визначатимемо у процесі розв’язку з рівності: Перепишемо рівняння у вигляді і Позначимо... ........ ВИСНОВКИ ДО РОЗДІЛУ 2 В другому розділі роботи було розглянуто основні моделі систем, що розвиваються та їх властивості. Представлені інтегральні моделі взаємодії двохпродуктових та континуальних систем, що розвиваються. Сформульовано та доведено теореми про існування єдиного розв’язку функцій на Поставлено чотири оптимізаційні задачі та знайдено рішення однієї із задач моделювання взаємодії систем. Отримані результати аналогічні результатам В.М. Глушкова й В.В. Іванова в [15, c. 140-156], де зазначені приклади аналітичного розв’язку ряду задач оптимального розподілу між підсистемами внутрішніх ресурсів системи, що розвивається (зовнішні ресурси в [15] взагалі не враховувалися). Таким чином, доведено, що розв’язки оптимізаційних задач якісно розрізняються залежно від величини часу планування. Для подальшого дослідження представляє значну теоретичну та прикладну зацікавленість рішення представлених оптимізаційних задач кооперативної та противоборчої взаємодії систем в більш загальних, ніж [7], випадках. ВИСНОВКИ Робота присвячена темі математичного моделювання взаємодії систем, що розвиваються (на прикладі взаємодії економічних систем). Під системою, що розвивається, розуміється будь-яка динамічна система, що має дві підсистеми: А - підсистему самовдосконалення, в якій створюються нові продукти першого роду, забезпечуючи внутрішні потреби системи - її існування і розвиток, та підсистему Б, в якій виконується основна (зовнішня) функція системи - випуск продуктів другого роду. Внутрішніми ресурсами системи, що розвивається, вважаються продукти першого роду, що забезпечують випуск самих себе та продуктів другого роду. Зовнішніми ресурсами називаються продукти як першого, так і другого роду, що поступають в систему із зовнішнього середовища (при цьому частина зовнішніх ресурсів стає внутрішніми ресурсами системи). Модель такої системи описується системою інтегральних рівнянь вольтерівського типу із заданою або відсутньою початковою передісторією, причому невідомі функції можуть знаходитися не тільки в підінтегральних виразах, але і в нижніх межах інтегралів. В роботі запропоновані рівняння моделі взаємодії двох економічних систем та зовнішнього середовища. На відміну від раніше запропонованої моделі Гірліна С.К. , враховується час транспортування d, завдяки чому, рівняння більш простіші та реалістичні. Також отримані достатні умови існування єдиного розв’язку системи нелінійних рівнянь моделі взаємодії двох економічних систем та зовнішнього середовища (теорема 1). Аналогічний результат отримано для випадку взаємодії двох континуальних систем та зовнішнього середовища (теорема 2). Поставлені деякі оптимізаційні задачі моделювання. Для випадку кооперативної і протиборчої взаємодії систем, коли обмін продуктами між системами відсутній, задано розподіл внутрішніх ресурсів між підсистемами кожної із систем і доля швидкості надходження зовнішнього ресурсу в кожну із систем не залежить від якості внутрішніх управлінь, сформульовано закон оптимальної пасивної взаємодії економічних систем (названий законом «розумного егоїзму» систем). Одержані результати можуть бути застосовані при моделюванні взаємодії та оптимізації взаємодії реальних економічних, технічних, біологічних, та ін. процесів (наприклад, при плануванні найкращого розподілу бюджетних коштів Криму або України, що направляються на закупівлю імпортних технологій, засобів виробництва й предметів споживання).