Зразок роботи
ВСТУП
Однією із важливих задач теорії поверхонь є задача аналітичного опису поверхонь.
Класифікація поверхонь необхідна для того, щоб спростити вивчення їх безлічі, виділивши певні групи, що володіють однаковими основними геометричними властивостями.
Об’єктом дослідження даної роботи є поверхні в загальному розумінні.
Предметом дослідження є критерії класифікацій аналітичних поверхонь.
Метою дослідження є дослідження класифікацій аналітичних поверхонь, візуалізація та прикладне застосування.
Для реалізації цієї мети були поставлені такі завдання:
– вивчити і проаналізувати основні види поверхонь, розглянути способи їх побудови, дослідити основні властивості цих поверхонь;
– продемонструвати використання отриманого матеріалу для розв’язування задач;
– подати приклади раціонального використання комп’ютерної графіки, а також наочні приклади щодо її застосування в побудові та дослідженні аналітичних поверхонь;
– дослідити практичну значущість аналітичних поверхонь.
Для реалізації дослідницького завдання залучались методи, які базуються на положеннях аналітичної, алгебраїчної, нарисної, обчислювальної геометрії, теорії поверхонь, також сучасних технологій – об’єктного аналізу, проектування та програмування в системах комп’ютерної графіки. Також застосовувались методи системного підходу, моделювання. При проведенні дослідження використовувалась комп’ютерна програма MATHEMATICА і мова Wolfram Language, за допомогою якої було показано зв'язок геометрії з комп’ютерними технологіями.
Саме ця тема є цікавою і змістовною, розвиваюча пізнавальний інтерес до аналітичної геометрії, що відкриває практичне значення геометрії в житті. Використання даного матеріалу на лекціях геометрії розширить знання учнів про поверхні, котрі досліджуються за програмою.
Загальний обсяг дипломної роботи складається із 63 сторінок друкованого тексту. Робота складається зі вступу, 2 розділів, висновків, списку використаних джерел та 7 додатків. Публікації за матеріалами дипломної роботи: наукова стаття у збірнику «Науковий пошук молодих дослідників» (випуск Х ).
2.2. Дослідження аналітичних поверхонь комп’ютерними засобами
Mathematica — система комп'ютерної алгебри компанії Wolfram Research. Містить багато функцій як для аналітичних перетворень(розв’язання систем рівнянь і нерівностей, спрощення виразів, знаходження границь, інтегрування і диференціювання функцій тощо), так і для чисельних розрахунків(обчислення значень функцій, у тому числі спеціальних з довільною точністю, знаходження меж, сум і добутків, розкладання числа на прості множники, операції з матрицями, пошук власних значень і власних векторів тощо). Крім того, програма підтримує роботу з графікою і звуком, включаючи побудову дво- і тривимірних графіків функцій, побудову графіків функцій, в тому числі параметричних кривих і поверхонь, малювання довільних геометричних фігур: ламаних, кіл,прямокутників,відтворення звуку, графік якого задається аналітичною функцією або набором точок, побудова поверхонь 3D.
Сервіс Grafikus.ru призначений для побудови різних графіків в двовимірних і тривимірних координатах. Зокрема, можлива побудова графіків простих алгебраїчних функцій виду y (x) і z (x, y), параметричних функцій, заданих в двовимірному і тривимірному просторі, а також функцій, заданих в полярній системі координат. У двовимірних координатах можна будувати графіки по точкам.
Параметрично задані поверхні в тривимірному просторі можна зобразити за допомогою функції ParametricPlot3D.
Графік поверхні, заданої параметрично:
Якщо потрібно побудувати поверхню, задану параметрично: x = x (u, v), y = y (u, v), z = z (u, v), то ці функції перераховуються в квадратних дужках в команді: plot3d ([x ( u, v), y (u, v), z (u, v)], u=u_1..u_2,v=v_1..v_2 .
Графік поверхні, заданої неявно:
Тривимірний графік поверхні, заданої неявно рівнянням, будується за допомогою команди пакета plot: implicitplot3d (F (x, y, z) = c, x=x_1..x_2,y=y_1..y_2,z=z_1..z_2) , де вказується рівняння поверхні і розміри малюнка по координатним осях.
Побудуємо параметрично задані функції: f = 4 + (3 + Cos (v)) Sin (u), f = 4 + (3 + Cos (v)) Cos (u), f = 4 + Sin (v), а також функції f = 8 + (3 + Cos (v)) Cos [u], f = 3 + Sin (v), f = 4 + (3 + Cos (v)) Sin (u) на одному графіку (рис.2.2.1).
Рис.2.2.1
Досить широко поширеними є трьохвимірні графічні об'єкти, отримані обертанням кривих навколо деякої осі. Наприклад, повертаючи окружність на кут π, можна отримати поверхню кулі. Змінюючи межі зміни кута повороту, можна будувати замкнуті або незамкнуті фігури. Для побудови таких поверхонь (фігур) в Mathematica служить функція: RevolutionPlot3D [f(z), {t, tmin, tmax}, ...] і RevolutionPlot3D [{f(x), f(y), f(z)}, {t, tmin, tmax}, ... ] (рис.2.2.2).
Рис.2.2.2
Також можна створити ряд барвистих фігур, оформлених у вигляді прикладів даних (ExampleData). Їх можна використовувати для перевірки роботи графічних функцій. На рис 2.2.3 показано побудова об'ємної фігури з числа таких прикладів за допомогою функції ListSurfacePlot. При цьому використовується тільки опція, що задає число фрагментів фігури. Решта опцій задані за замовчуванням (рис.2.2.3).
Рис.2.2.3
Щоб побудувати графік поверхні другого порядку, потрібно спочатку виразити змінну z з канонічного рівняння. Це можна зробити, використовуючи функцію Solve, яка була використана для вирішення рівнянь, вказавши в якості невідомої змінної тільки змінну z. Наприклад, виразимо з рівняння еліпсоїда x^2+y^2+z^2=1 змінну z : solve [x^2+y^2+z^2=1 , {z}] отримаємо : {z→-√(1-x^2-y^2 ),z→√(〖1-x〗^2-y^2 )}. Це означає, що побудова еліпсоїда зводиться до побудови в одній системі координат двох трьохвимірних графіків
z=-√(1-x^2-y^2 ) і z=√(1-x^2-y^2 ).
Так як побудувати іх потрібно в одній системі координат , то використовуємо функцію Show [z_1,z_2]. Крім того, при побудові графіків з ціллю покращення якості графіків використовуємо функцію PlotPoints→n , яка вказує скільки точок повинно брати участь в побудові (n – натуральне число).
Важливі поверхні простору ( Аналітична геометрія простору).
Еліпсоїд
Канонічне рівняння:
x^2/a^2 +y^2/b^2 +z^2/c^2 =1
На рис 2.2.4. показано побудову еліпсоїда заданого рівнянням:
x^2+y^2+z^2=1
Рис.2.2.4
Однопорожнинний гіперболоїд
Канонічне рівняння :
x^2/a^2 +y^2/b^2 -z^2/c^2 =1
На рис 2.2.5. показано побудову однопорожнинного гіперболоїда заданого рівнянням
x^2/64+y^2/1-z^2/16=1
Рис.2.2.5
Двохпорожнинний гіперболоїд
Канонічне рівняння:
x^2/a^2 -y^2/b^2 -z^2/c^2 =1
На рис 2.2.6. побудовано двохпорожнинний гіперболоїд заданий рівнянням:
x^2/4+y^2/9-z^2/1=1
Рис.2.2.6
Еліптичний параболоїд
Канонічне рівняння:
z=x^2/a^2 +y^2/b^2
На рис 2.2.7. побудовано еліптичний параболоїд заданий рівнянням :
z=x^2/81+y^2/64
[Побудова виконувалась за допомогою grafikus.ru]
Рис.2.2.7
Гіперболічний параболоїд
Канонічне рівняння:
z=x^2/a^2 -y^2/b^2
На рис 2.2.8. побудовано гіперболічний параболоїд заданий рівнянням:
z=x^2/1-y^2/1, тобто z=x^2-y^2
[Побудова виконувалась за допомогою grafikus.ru]
Рис.2.2.8
Mathematica дає можливість користувачу розглядати будь-яку, побудовану просторову фігуру в різних положеннях. Для зміни положення в просторі тривимірної фігури використовується опція 3D View Point Selector. Цю функцію можна задати за допомогою панелі інструментів Input. При цьому курсор необхідно поставити після коми і перед квадратною дужкою, яка закривається. Проілюструємо різні положення гіперболічного параболоїда в просторі. На рис 2.2.9 він побудований без застосування наведеної функції, на рис 2.2.10 – з її застосуванням.
Магістр