Зворотні послідовності (ID:212140)

зворотної послідовності. Поняття зворотної послідовності є широким узагальненням поняття арифметичної або геометричної прогресії. Як окремі випадки воно охоплює також послідовності квадратів або кубів натуральних чисел, послідовності цифр десяткового розкладання раціонального числа (узагалі, будь-які періодичні послідовності), послідовності коефіцієнтів частки від поділу двох многочленів, розташованих по зростаючих ступенях, і т.д. Звідси видно, що зворотні послідовності в курсі математики зустрічатися досить часто. Теорія зворотних послідовностей складає особливу главу математичної дисципліни, яка має назву дослідженням кінцевих різниць. Будемо записувати послідовності у вигляді u1,u2,u3,.....un,........, (1) або коротко {un}. Якщо існує натуральне число k і числа a1,a2,..,ak (дійсні або уявні, причому ak¹0 ) такі, що, починаючи з деякого номера m і для всіх наступних номерів un+k=a1un+k—1+a1un+k—2+...+akun (n³m³1) (2) то послідовність (1) називається зворотною послідовністю порядку k, а співвідношення (2) — зворотнім рівняння порядку k. Таким чином, зворотна послідовність характеризується тим, що кожний член її (починаючи деякого з них) виражається; через одне і ту саму кількість k безпосередньо передуючих йому членів по формулі (2). Приклади зворотних послідовностей. Приклад I. Геометрична прогресія. Нехай маємо геометричну прогресію u1=a, u2=aq, u3=aq2, ...,un=aqn—1 для неї рівняння (2) набуває вигляду un+1=qun Тут k=1 і a1=q. Таким чином геометрична прогресія є зворотною послідовністю першого порядку. Приклад 2. Арифметична прогресія. У випадку арифметичної прогресії u1=a, u2=a+d, u3=a+2d, ...,un=a+(n—1)d,... маємо un+1=un+d співвідношення, що не має вигляду рівняння (2) .Однак, якщо ми розглянемо два співвідношення, написані для двох сусідніх значень n: un+2=un+1+d un+1=un+d то одержимо з них шляхом почленного віднімання un+2—un+1=un+1—un un+2=2un+1—un рівняння вигляду (2). Тут k=2, a1=2, a2=-1. Отже арифметична прогресія є зворотною послідовності порядку 2. Приклад 3. Числа Фібоначчі. Задовольняють зворотному рівнянню другого порядку un+2=un+1+un Приклад 4 Послідовність квадратів натуральних чисел u1=12, u2=22, u3=3, .., un=n2,... (3) Тут un+1=(n+1)2=n2+2n+1 і відповідно un+1=un+2n+1 (4) Збільшуючи n на одиницю, отримаємо un+2=un+2n+3 (5) І, отже (віднімаючи почленно (4) від (5)) un+2 un+1=un+1 un+2 Або un+2=2un+1 un+2 (6) Збільшуючи в рівнянні (6) n на одиницю, будемо мати un+3=2un+2 un+1+2 (7) Звідки (почленно віднімаючи (6) від (7)) un+3 un+2=2un+2 3un+1+un або un+3=3un+2 3un+1+un Ми отримали зворотне рівняння третього порядку. Отже, послідовність (8) є зворотною послідовністю третього порядку. Подібним чином можна переконатися, що послідовність кубів натуральних чисел є зворотною послідовністю четвертого порядку, члени якої задовольняють рівняння un+4=4un+3 6un+2+4un+1 un Приклад. 5. До зворотних послідовностей відносяться всі періодичні послідовності.: Розглянемо, наприклад, послідовність цифр десяткового розкладу числа Тут u1=5, u2=7, u3=1, u4=3, (8) u5=2, u6=1, u7=3.......... Очевидно, що un+3= un (n³3) Щоб подати це рівняння у вигляді (2), перепишемо його наступним чином: un+3=0un+2+0un+1+1un Звідси видно, що це зворотне рівняння третього порядку (k=3, a1=0, a2=0, a3=1). Отже, послідовність (8) є зворотною послідовність третього порядку. Приклад 6. Розглянемо тепер послідовність коефіцієнтів частки від ділення двох многочленів розташованих по зростаючих степенях x. Нехай P(x)=A0+A1x+…+Alxl Q(x)=B0+B1x+…+BKxK (B0¹0) Будемо ділити Р(х) на Q(x); якщо Р(x) не ділиться на Q(x) без залишку, то ділення можна продовжувати нескінченно. У частці один за іншим будуть одержуватись члени D0+D1x+D2x2+D3x3+…+ Dnxn+… Розглянемо послідовність U1=D0, u1=D1,...,un=Dn-1,... (9) і доведемо, що вона є зворотною послідовністю порядку k. Для цього зафіксуємо довільне натуральне число n, яке задовольняє рівняння n³k+1 — зупинимося в процесі поділу на члені частки, що має xn+k. Тоді в залишку вийде деякий многочлен R(х), що містить х у ступенях вище ніж n+k. Записуючи співвідношення між діленим і дільником, часткою й залишком отримаємо наступну тотожність: A0+…Alxl=(B0+…+Bkxk)(D0+…+Dn+kxn+k)+ R(х) Знайдемо коефіцієнти при xn+k у лівій та правій частині цього рівняння і прирівняємо їх між собою. Так як n+k³l+1, то коефіцієнти при xn+k у лівій частині рівні нулю. Тому повинен дорівнювати нулю і коефіцієнт при xn+k у правій частині. Проте члени з xn+k входять тільки в добуток (B0+…+Bkxk)(D0+…+Dn+kxn+k). Тому шуканий коефіцієнт є Dn+k B0+Dn+k-1B1+...+ DnBk=0 Звідси (n³l-k+1). Це — зворотне рівняння порядку k, звідки і випливає, що послідовність (9) зворотна послідовність порядку k. Одне з питань, що стосується арифметичної й геометричної прогресій, а також послідовностей квадратів натуральних чисел – це відшукування суми n членів кожної з цих послідовностей. Нехай u1,u2,u3,…un,…, (10) Зворотна послідовність порядку k, члени якої задовольняють рівняння un+k=a1un+k-1+a2un+k-2+…+akun (n³m) (11) Розглянемо нову послідовність, утворена сумами sn чисел (10) sn=u1, s2=u1+u2,…sn=u1+u2+…+un і покажемо, що ця послідовність сум є також зворотною послідовністю, порядку k+1, причому її члени задовольняють рівняння sn+k+1=(1+a1)sn+k+(a2-a1)sn+k-1+…(ak-ak-1)sn+1-aksn Для доведення слід відмітити, що u1=s1, u2=s2-u1=s2-s1,…,un=sn-(un+…+un-1)=sn-sn-1,… Покладаючи, що s0=0, так, що u1=s1-s0, підставляючи в рівняння (11) замість u1,u2,u3,…un,…, їх значення через s0, s1,...,sn…,отримаємо sn+k-sn+k-1=a1(sn+k-1-sn+k-2)+a2(sn+k-2-sn+k-3)+…+ak(sn-sn-1) звідки sn+k=(a1+1)sn+k-1+(a2-a1)sn+k-2+…+(ak-ak-1)sn-aksn-1 (n³m) або, замінюючи тут n на n+1: sn+k+1=(a1+1)sn+k+(a2-a1)sn+k-1+…+(ak-ak-1)sn+1-aksn (n³m-1) Це зворотне рівняння порядку k+1. Для прикладу 1. Геометрична прогресія. В даному випадку un=aqn-1 і sn=u1+u2+…+un=a+aq+…+aqn-1. Оскільки члени {un} задовольнять рівняння виду un+1=qun, то члени {un}повинні задовольняти рівняння sn+2=(q+1)sn+1-qsn 2. Послідовність квадратів натуральних чисел. Маємо un=an і sn=12+22+…n2. Оскільки члени {un} задовольняють рівняння un+3=3un+2-3un+1+un то члени {sn} задовольняють рівняння sn+4=4sn+3 6sn+2+4sn+1 sn (29) 3. Числа Фібоначчі. Так як вони задовольняють рівняння un+2=un+1+un (14) то відповідно їхні суми повинні задовольняти рівняння sn+3=2sn+2 sn (29)