Зразок роботи
ВСТУП
З давнини люди задавалися питаннями розмірності простору. Багатьох науковців минулого цікавили такі питання. Чому оточуючий нас простір має три виміри і яку роль відіграє розмірність в законах фізики? Розмірність - це одна із найбільш загальних властивостей простору і часу. Дослідження властивостей і розмірності простору має багатовікову історію, але умовно її можна розділити на два етапи: доейнштейнівський - який тривав з античності і до початку ХХ століття і сучасний - який розпочався на початку ХХ століття з публікації праці Ейнштейна про “Спеціальну теорію відносності”.
У фізиці уявлення про розмірність простору пройшло нелегкий шлях від числа, яке характеризує матеріальний світ і до фізичного поняття, яке пов’язане з властивостями фізичних явищ. В сучасній науці поняття “розмірність простору” є ключовим поняттям в таких науках як фізика і топологія. У фізиці, тривимірність простору або з урахування теорії відносності 3+1-вимірність простору і часу є однією з фундаментальних властивостей матеріального світу, який оточує нас і визначає його властивості і закономірності.
Ще однією галуззю, в якій розмірність простору відіграє ключову роль, є топологічна теорія розмірності, яка в свою чергу є однією з найважливіших областей топології і яка, будується для довільних значень розмірності. Тому в даній роботі буде доцільно розглядати поняття розмірності через призму як фізики, так і топології.
Сучасні уявлення про розмірність фізичного простору і топологічне поняття розмірності виникли приблизно в один і той самий час - на початку ХХ століття. І досить цікавим є те, що топологічне поняття розмірності, дослідженням якого займався Пуанкаре, має фізичне походження, яке можна легко відслідкувати. Також потрібно згадати той факт, що першим, хто спробував провести фізичний аналіз факту трьох вимірності простору був Еренфест. На даний час з точки зору найбільш глибокої на сьогоднішній день теорії фізичного простору і часу є загальна теорія відносності. Фізичний простір має структуру так званого чотирьохвимірного псевдоріманового різноманіття, структура якого, локально в малому околі кожної точки, співпадає із структурою звичайного евклідового простору. Але тут виникає один парадокс: при дослідженні елементарних частинок виникають різноманітні просторові конструкції, які не зовсім узгоджуються з класичною моделлю фізичного простору. А саме: одновимірні струни й двовимірні мішки в теорії сильних взаємодій у квантовій теорії поля в просторі розмірностей, який не рівний трьом і в якому можуть розглядатися нецілі значення розмірності, і космологія раннього всесвіту. Все вище сказане приводить до просторів з розмірністю відміною від 3+1 вимірності простору і часу.
Отже, в фізиці є цілий ряд проблем і задач пов’язаних з розмірністю фізичного простору, які потрібно ще вирішити. І дані фундаментальні питання є надзвичайно актуальними в побудові так званої теорії всього, і написання коректного рівняння стандартної моделі.
Метою роботи є: теоретичний розбір та аналіз сучасних моделей фізичного простору і побудова комп’ютерних моделей з нетиповими значеннями фізичних констант, а також представлення проекції багатовимірних фігур.
Для досягнення поставленої мети виконані такі завдання:
1.Аналіз наукової літератури.
2.Розробка комп’ютерних моделей.
3.Розробка методів візуального представлення багатовимірних фігур.
Об’єкт дослідження: Фізичний і математичний простір.
Предмет дослідження: Моделі простору Мінковського, Калуца-Клейна , Калабі-Яу , Евкліда , Рімана.
Методи дослідження: Розбір і аналіз наукової літератури з даної теми. Моделювання фізичних процесів з нестандартними значеннями фундаментальних фізичних констант.
Практичне значення отриманих результатів: Систематизовані знання дадуть можливість оцінити правильність тих чи інших моделей простору і часу. А також, демонстрація унікальності конфігурації нашого всесвіту з нестандартними значеннями фізичних констант.
РОЗДІЛ 1
ВИМІРНІСТЬ ПРОСТОРУ В СУЧАСНІЙ ФІЗИЦІ І КОСМОЛОГІЇ.
1.1. Історичні уявлення про розмірність простору
Властивість матеріального світу, яка називається “розмірність” була введена в глибокій древності. Поняття “геометричного простору” начало формуватися ще за часів Платона в 4 столітті до нашої ери. Платонові і учням Піфагора приписують написання перших праць, в яких йшлося про геометричні об’єкти різних розмірностей, наприклад: точка, лінія, поверхня, тіло і зв’язки, які виникають між такими об’єктами як наприклад: лінія-слід рухомої точки.
Дані взаємовідношення геометричних об’єктів різних розмірностей стали фундаментом для одної з перших теорій, яка доводила те, що простір , який оточує нас, є трьохвимірним. І дійсно, рух точки утворює лінію, іншими словами, точка при русі утворює одновимірну фігуру. У свою чергу, рух лінії утворює поверхню, яка є сукупністю всіх точок рухомої лінії. У свою чергу, рух поверхні утворює тіло. Але надалі рух тіла може призвести тільки до утворення тіла, але більш складного. Такі елементарні математичні твердження, в свою чергу, начебто і доводять те, що наш світ є трьохвимірним, і число вимірів є чисто геометричною величиною.
Але насправді не все так просто. Дані твердження не можуть дати чітку відповідь на питання розмірності. Перш за все, в даних твердженнях є певна неточність. А саме, не кожний рух лінії утворює поверхню і рух лінії вздовж самої себе дає ту саму лінію[1].
Наприклад, якщо ми обмежимося рухом тільки в деякій площині, то побачимо, що всякий рух точки утворює лінію, а рух лінії може утворить плоску двовимірну фігуру, але рух плоскої фігури не може утворить нічого відмінного від плоскої фігури. З такої точки зору могли б доводити двовимірність свого всесвіту деякі створіння, які жили б на деякій площині і які не можуть представити собі такі поняття як “перпендикуляр” і “перетин площин”. Тому ми можемо бачити, що докази такого типу вказують лише на властивість трьохвимірності і виділяють цю властивість з множини властивостей матеріального світу.
Приємником ідей Платона став його найвидатніший учень Арістотель, який зовсім по іншому віднісся до факту трьохвимірності, критикуючи впевненість Платона в повній незалежності і вічності існування геометричної ідеї простору. Арістотель вважав, що число 3 ми беремо з природи як один із її законів і немає ніякого сенсу задумуватися, чому матеріальний світ має три виміри. Але тут потрібно звернути увагу на те, що прийнявши таку позицію щодо розмірності, Арістотель не переставав працювати над цією проблемою[1].
По-перше, саме Арістотель один з перших співставив лінії, поверхні і об’ємові числа 1,2,3, і в противагу піфагорійцям, які найпростішому з їх точки зору геометричному об’єкту приписували цифру 1,а наприклад, лініям приписували число 2, поверхні - число 3. Проще кажучи, піфагорійці просто зробили якісний опис геометричних фігур і пронумерували їх вимірність. В цей час Арістотель висунув свою гіпотезу, що тіло характеризується протяжністю в трьох просторових напрямках. Інші величини подільні в одному або двох напрямках у відповідності з числами, які співставляються різним величинам за кількістю просторових напрямків, якими і характеризується їх подільність і неперервність. Одна просторова велична неперервна в одному напрямку, дві просторові величини неперервні в двох, а три величини є неперервними у всіх напрямках. Згідно з цією теорією лінія є одновимірною, площина є двовимірною, тіло є тривимірним, а точку вважали нульвимірною. Хоча проблемою вимірності точки Арістотель не займався. І якщо говорить по правді, то Арістотель не хотів признавати величини, розмірність яких менша трьох. [1].
Але тут необхідно зробити невеличке уточнення, що говорячи про ідеї науковців античності ми повинні бути досить обережними. Вживати такі поняття як кількість вимірів і розмірність є не зовсім правильним рішенням. Тому, що геометрична ідея вимірювання довжини і метрична точка зору були сформовані набагато пізніше. Аристотель говорив про величини, про їх протяжність і напрям у просторі. Також він говорив про неперервність і подільність, але він не говорив про розмірність. Фактично можна сказати, що Арістотеливські визначення, які мають в свої основі поняття “неперервності” по своїй суті мають топологічний характер. Але цим напрацюванням науковців античності не був даний хід в науці. І тому виникла метрика яка досить довгий час була єдиною наукою, яка займалася проблемами простору. Але на початку XVII століття були звернуті погляди на роботи науковців давнини і з’явились перші праці з топології, і тільки на початку XX століття з’явилося топологічне визначення розмірності. Саме в топології, зв’язок між такими поняттями як розмірність і неперервність, отримали найбільш спільне поєднання в рамках єдиної топологічної теорії. Але весь цей розвиток античної наукової думки завершився з наступом темних віків, коли всі науковці перестали займатися наукою як такою, і займались теологією. Все змінилося, коли розпочалася ера відродження і в людства знову з’явився інтерес до природи, і науки. В середині XVIII століття німецький філософ Іммануїл Кант запропонував нову ідею, в якій поняття розмірності було вперше пов’язане з конкретним фізичним законом. І ця ідея приклала руку до розгортання одного з найбільших ідейних протиборств у фізиці. А саме суперечності абсолютності і відносності простору[4].
Якщо намагатися сказати це простою мовою, то абсолютний простір - це певне готове вічне щось, яке було завжди, в якому з часом відбуваються фізичні явища, але ці явища ніяк не впливають на простір і він ніяк не змінюється, і не залежить від подій, які відбуваються в ньому.
Ідея відносності простору означає те, що при просторовій взаємодії тіл, простір змінюється в ході самої цієї взаємодії, створеної фізичними явищами ,які виникають в ході взаємодії матеріальних тіл.
Надалі концепція абсолютного простору перемогла в механіці Ньютона і займала ведучу позицію в фізиці аж до початку ХХ століття. Коли в загальній теорії відносності Ейнштейна була взята за основу ідея відносності простору. Першим прихильником відносності був Лейбніц. Під впливом поглядів Лейбніца також був Кант, коли він звернувся до проблеми розмірності простору. Тут потрібно відмітить те, що даними питаннями Кант займався бувши ще зовсім молодим студентом Kенісбергського університету[4].
Перша опублікована робота з даної теми була присвячена питанню: “Яка величина є справжньою мірою руху тіл?”. Хоча на момент виходу даної праці це питання було вирішено, але в ній присвячено 3 сторінки проблемі розмірності. І на цих трьох сторінках записані наступні думки Канта: “Тривимірність обумовлена тим, що матерія в нашому світі взаємодіє таким чином, що сила цієї взаємодії обернено пропорційна квадрату відстані між тілами, які взаємодіють”.
Цього висновку Кант дійшов за рахунок наступних тверджень, які мають в своїй основі думки Лейбніца. Судження Канта мали приблизно таку форму: ”Досить легко доводить те, що не було б ніякого простору і розмірності, якби матерія не мала ніякої можливості діяти на простір. Бо без цієї дії не будо б зв’язку, а без зв’язку не міг би існувати порядок, а без порядку не може існувати простір.” І на думку Канта, трьохвимірність витікала з чинних фізичних законів. Беручи за основу те, що розмірность простору випливає з певних фізичних законів, то ми можемо сформулювати наступне твердження, що простір - це упорядкована сукупність матеріальних тіл між якими відбувається постійна просторова взаємодія. І ця взаємодія проявляється в силах, які взаємодіють між тілами. А сила ця була гравітаційна, на той час - єдино відома сила, яка змінювалася обернено пропорційно квадрату відстані між тілами. І тому Кант думав, що повинен існувати зв’язок між квадратом у законі тяжіння і числом три, яке характеризує розмірність простору. Але він не уточнював, який саме цей зв'язок. В подальшому багато різних науковців займалися проблемою розмірності. І протягом ХХ століття було не мало спроб побудувати єдину теорію розмірності простору і часу. Бо дана модель відіграє ключове значення в по будові рівняння стандартної моделі, яка в свою чергу є основою для побудови теорії великого об’єднання. Перша така спроба була здійсненна в 1920 роках Теодором Калуци і Оскаром Клейна, які за рахунок додавання 5 виміру до стандартних 4, змогли об’єднати гравітацію, і електромагнетизм[4].
Магістр