Зразок роботи
Задача Коші
Задача з початковими умовами ставиться так: знайти розв’язок y=φ(x), рівняння y^((n))=f(x,y,y^',y^'',…,y^((n-1) )), що задовольняє додатковим умовам, які складаються в тому, що розв’язок y=φ(x), повинний приймати разом зі своїми похідними до (n-1)-го порядку задані числові значення 〖 y〗_0,〖y_0〗^',〖y_0〗^'',…,y_0^((n-1) ) при заданому числовому значенні x=x0 незалежної змінної х.
Такі умови називаються початковими умовами, а задача відшукання розв‘язку
y=φ(x), диференціального рівняння (1.1), що задовольняє заданим початковим умовам— задачею з початковими умовами, або задачею Коші.
Задача з крайовими умовами ставиться так: знайти розв’язок y=φ(x), рівняння
y^((n))=f(x,y,y^',y^'',…,y^((n-1) )), що задовольняє додатковим умовам, які складаються в тому, що розв’язок y=φ(x),, повинний приймати разом зі своїми похідними до (n-1)-го порядку задані числові значення 〖 y〗_0,〖y_0〗^',〖y_0〗^'',…,y_0^((n-1) ) при заданому числовому значенні х=х0 та 〖 y〗_N,〖y_N〗^',〖y_N〗^'',…,y_N^((n-1) ) при заданому числовому значені x=xN незалежної змінної х.
Такі умови називаються крайовими умовами, а задача відшукання розв‘язку y=φ(x), диференціального рівняння (1.1), що задовольняє заданим крайовим умовам — крайовою задачею.
У випадку рівняння першого порядку, тобто при n=1, одержуємо задачу Коші для рівняння y’=f(x,y) з початковою умовою x=x0, y=y0.
Геометрично задача Коші для рівняння першого порядку полягає в тому, що з усіх інтегральних кривих, що представляють собою загальний розв‘язок, потрібно знайти ту інтегральну криву, що проходить через точку М0 з координатами x=x0, y=y0 (рис.).
Часто в задачі Коші у ролі незалежної змінної виступає час t. Прикладом може бути задача про вільні коливання тіла, яке підвішене на пружині. Рухи такого тіла описуються диференційним рівнянням, в якому незалежною змінною є час t. Якщо додаткові умови задані у вигляді значень переміщень чи швидкості при t=0, то це також задача Коші.
Задача Коші має єдиний розв‘язок, що задовольняє умові в (x0)=y0, якщо функція f(x,y) неперервна в деякій області R_[a,b] ={|x-x_0 |
Магістр