Зразок роботи
ВСТУП
У теорії і практиці моделювання систем важливе місце посідають моделі систем масового обслуговування (СМО). Такі системи зустрічаються нам щоденно. Це процеси обслуговування в черзі на заправній станції, у магазині, бібліотеці, кафе, також різні служби ремонту і медичної допомоги, транспортні системи, аеропорти, вокзали тощо. Черги виникають і за потреби скористатись телефонним зв’язком або передати повідомлення по Інтернету. Більше того, будь-яке виробництво також можна подати як послідовність таких систем. Особливого значення СМО набули в інформатиці. Це передусім комп’ютерні системи, мережі передавання інформації, бази і банки даних.
Існує розвинутий математичний апарат теорії масового обслуговування (науковці західних країн цю теорію називають теорією черг), що дає змогу аналізувати ефективність функціонування СМО певних типів і визначати залежність між характеристиками потоку вимог, кількістю каналів (пристроїв для обслуговування), їх продуктивністю, правилами роботи СМО та її ефективністю.
Перші теоретичні результати внаслідок вирішення проблем, пов’язаних із функціонуванням систем обслуговування, було отримано датським ученим, співробітником Копенгагенської телефонної компанії А. К. Ерлангом у період 1908 – 1922 років. Ці результати стосувались практичних завдань підвищення якості обслуговування абонентів і визначення кількості телефонних ліній. У подальшому з’ясувалось, що отримані теоретичні результати є наслідком загальними, що їх можна використовувати для визначення оптимальної кількості кас і продавців на торговельних підприємствах, для розрахунків запасів у магазинах, достатніх для їх безперебійної роботи, тощо.
В своїй роботі я хотів би розглянути класифікацію СМО, їх характеристики: час між надходженнями вимог і час обслуговування, а також дослідити законів їх розподілу.
1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ
Система масового обслуговування (СМО) - це система, яка обслуговує вимоги, що надходять до неї (заявки). Основними елементами системи є:
- вхідний потік вимог;
- канали обслуговування;
- черга вимог;
- вихідний потік вимог.
Вимоги (заявки) на обслуговування надходять через дискретні (постійні або випадкові) інтервали часу.
Вхідний потік вимог на обслуговування (трафік) – класифікується за ознаками стаціонарності, ординарності та післядії. Основними характеристиками потоку вимог є його параметр та інтенсивність.
У загальному випадку вхідний потік вимог на обслуговування описується функцією розподілу ймовірностей інтервалів часу між сусідніми вимогами :
де – імовірність того, що час між послідовними вимогами .
Якщо інтервали часу між послідовними вимогами є незалежними та однаково розподіленими випадковими величинами, то вхідний потік вимог утворює стаціонарний процес відновлення. Це є ознакою незмінності в часі імовірнісних характеристик випадкових процесів, що у більшості випадків добре віддзеркалює реальні процеси в СМО за короткі проміжки часу. Таким чином, функція розподілу інтервалів є достатньою для опису потоку вимог.
Час, протягом якого вимога перебуває у сервері, описується функцією розподілу ймовірностей тривалості обслуговування :
де – імовірність того, що час обслуговування .
Для опису інтервалу часу між послідовними вимогами або тривалості обслуговування застосовуються різні закони. Найбільше з них використовуються наступні розподіли:
М – експонентний (М – марковська модель);
Н – гіперекспонентний (Hyper-exponential);
D – детермінований (Determined);
U – рівномірний (Uniform);
E – розподіл Ерланга;
G – довільний або узагальнений (General).
Канали (прилади) необхідні для обслуговування цих заявок. Обслуговування триває деякий час, постійний або випадковий.
Випадковий характер потоку заявок та часу обслуговування призводить до того, що в деякі моменти часу на вході СМО може виникнути черга, в інші моменти – канали можуть бути недозавантаженими або взагалі простоювати. Якщо у момент надходження заявки всі прилади зайняті, заявка копіюється у комірку буфера і чекає там початку обслуговування. Заявки, що знаходяться в буфері, складають чергу на обслуговування. Якщо всі комірки буфера зайняті, заявка отримує відмову в обслуговуванні і втрачається.
Процес роботи СМО представляє собою випадковий процес з дискретними станами та неперервним часом. Стан СМО змінюється стрибком в моменти реалізації подій (надходження нової або закінчення обслуговування вимоги, моменту, коли вимога, виходить з черги).
З вимог, які вже обслуговані, формується вихідний потік.
Кожна СМО, залежно від кількості каналів, їх продуктивності, характеру потоку заявок, має деяку пропускну здатність, яка дозволяє їй більш чи менш успішно справлятися з потоком вимог.
Задача теорії масового обслуговування полягає в побудові моделей, які пов‘язують задані умови роботи СМО з показниками ефективності системи, що описують її спроможність впоратися з потоком вимог. Під ефективністю обслуговуючої системи розуміють характеристику рівня виконання цією системою функцій, для яких вона призначена.
Магістр